继上次利率曲线的讨论，这次我们以美元市场为例，来简单介绍一下如何从市场可交易的利率产品创建利率曲线。
首先我们需要了解一下市场利率产品是如何定价的，之前提到过利率市场正在经历一场贴现率的变革，美元利率市场从原先的FedFund 转移至SOFR贴现，欧元市场从EONIA变化至ESTER贴现。大约十多年前，全球利率市场也发生过类似变化，从LIBOR贴现到OIS贴现。那为什么有这些变化呢？这和金融产品的交易抵押结构有关。
下面我们看一个简单的交易，机构A和机构B之间做一个单货币抵押（collateralized）金融产品交易，
- 在t时刻，
- A从B购买V(t)的资产
- B立即给了A等值的抵押品V(t)
- 在t+dt时刻
- A返还抵押品和抵押品产生的利息给B
- B然后重新给A等值的新抵押品V(t+dt)
那么我们有这样的现金流，
V(t + dt) - V(t)(1 + c(t))dt = dV(t) - c(t)V(t)dt
这里在 t 和 t+dt 时刻，对机构A和B来说都是零收益和支出（P&L）。
这样虽然简单但很重要的现金流分析告诉我们，对于有抵押的金融产品来说，我们需要用抵押品的连续复利利息率c(t)来贴现也就是，
V(t) = E^{Q}[e^{-\int_t^T c(s)ds}V(T)]这里的Q代表风险中立的测度（有时间我们统一来讲讲测度）。
用于抵押的可以是任何接近零风险的金融产品，譬如现金，国债等等。抵押资产的引入大大的降低了对手风险，如果对手破产了，你可以保留对手的抵押品从而最大可能减少损失。随着金融市场的发展，抵押资产也变的复杂，譬如可以择优资产抵押，可以在有零抵押利率底的基础上做抵押等等，这些复杂的结构性抵押让即使很简单的金融产品变得极其复杂，需要建立多因子多货币随机数学模型（后面有时间展开说说）。 现在我们知道了如何贴现抵押金融产品，那再回到美元市场的标准利率产品，如今的利率市场协议CSA指定美元现金抵押的利率为担保隔夜融资利息率USD SOFR。所以对于交易员来说，他们首先需要创建SOFR利率贴现曲线，接下来再创建一系列的浮动利率远期曲线，从而才能实时精确的进行利率交易。
在美元利率市场，我们一般有以下几条利率曲线需要去创建，
- USD SOFR利率曲线
- USD FedFund利率曲线
- USD 3M LIBOR利率曲线
- USD 1M LIBOR 利率曲线
- USD 6M LIBOR 利率曲线
- USD 12M LIBOR利率曲线
我们先来了解一下这些曲线都用来做什么，
- USD SOFR曲线用来贴现以SOFR利率抵押的金融产品或计算SOFR浮动远期利率
- USD FedFund曲线曾经是USD SOFR的角色用来贴现美元现金抵押利率产品，现在它主要用来计算FedFund的浮动远期利率（譬如LCH/CME用于补偿贴现率变化的SOFR/FedFund基差互换），和贴现一些复杂的奇异金融产品（类似百慕大可撤销利率互换，或一些已交易但未到期的欧式利率互换期权价值部分，但这在不久的将来也会转移至USD SOFR）。
- USD 3M/1M/6M/12M利率曲线用来计算金融产品的浮动远期利率。
利率曲线的创建其实就是从市场可交易的流动性大的利率产品拟合一条曲线，而每个投资银行对于这些利率产品的选择都有自己不同的偏好，在这里我们举一个例子，对于每条美元利率曲线，我们可以有以下市场利率产品，
- USD SOFR利率曲线
- 隔夜到3M的SOFR存款
- SOFR 3M期货
- 2年以上的SOFR/FedFund的利率基差互换
- USD FedFund利率曲线
- 隔夜到3M的FedFund存款
- FedFund 3M期货
- 2年以上的LIBOR/FedFund的浮动基差互换
- USD 3M LIBOR利率曲线
- 3M的LIBOR存款
- LIBOR 3M期货
- 2年以上的LIBOR 3M固定利率互换
- USD 1M LIBOR 利率曲线
- 3M/1M的浮动基差利率互换
- USD 6M LIBOR 利率曲线
- 6M/3M的浮动基差利率互换
- USD 12M LIBOR利率曲线
- 12M/3M的浮动基差利率互换
我们注意到， SOFR，FedFund和3M LIBOR曲线是相互联系非独立的，因为SOFR 两年以上的SOFR/FedFund利率基差互换的定价需要FedFund浮动远期曲线，而FedFund利率互换的定价必须有SOFR贴现曲线，同样LIBOR 3M的两年以上利率互换的定价需要FedFund浮动远期曲线和SOFR贴现曲线，这就需要我们同时创建这三条曲线（但实际工作中我们可以做一些一次近似单独创建或同时创建其中两条）。当创建完成USD SOFR和USD 3M曲线，我们继而可以创建USD 1M，6M，12M的浮动远期利率曲线。
以上只是一个很简单的利率曲线创建解决方案，对于一般的非利率和外汇短期类交易已经是足够了。但对于利率交易员来说，这样的方案还不够完善，在实际工作中我们还需要创建一些短期0-2年的利率曲线去反映市场短期预测和波动，类似月末，季度末，年末的turn effect，央行的利率决议会议，以及期货市场的凸性等等，然后用这些短期利率曲线作为最终整体曲线的短期部分，从而更为精确定价和套利。
美元曲线是所有利率曲线的基础，所有其他货币的外汇相关曲线都依赖于USD FedFund （市场正切换至USD SOFR）和USD 3M LIBOR曲线，因为市场标准与美元的交叉货币浮动基差互换都是美元现金抵押的。譬如离岸人民币的外汇基差曲线，它的创建则需要美元和离岸人民币3M/3M交叉货币浮动基差互换，离岸人民币的3M利率曲线和美元FedFund和3M LIBOR利率曲线。
就像我们上次所说的，利率曲线的数学模型虽然简单，但它们的创建包含了非常繁琐的细节。就如同某清算中心的报告，全球大几十家机构用同样的清算中心的曲线利率产品价格和规定的曲线插值方法，平均误差可以超过1bp（基点 – 绝对误差除以DV01），这在利率曲线交易里已经算非常显著的了，这也足以说明利率曲线创建的复杂程度。
最后我们会发现一个问题，对于美元和其他货币外汇曲线，市场的CSA协议是美元现金抵押，那如果我们要做个非美元现金抵押交易，交易员应该怎么办？下次我们继续聊。